概率论中交并集的公式_交事件概率的运算公式

文章目录

• • 对于相容事件且独立事件
  • • 1. 同时出现的概率,即$P(A\cap B)$:
    • 2. 出现任意一个的概率,即$P(A\cup B)$:
  • 对于相容事件且依赖事件
  • • 1. 同时出现的概率,即$P(A\cap B)$:
    • • 特殊的,对于独立事件
    • 2. 出现任意一个的概率,即$P(A\cup B)$:
  • 总结公式
  • • 交集（Intersection）公式总结
    • • 一般情况
      • 特殊情况
    • 并集（Union）公式总结
    • • 一般情况
      • 特殊情况

对于相容事件且独立事件

连续掷骰子2次
A: 掷一次骰子点数为1
B: 掷一次骰子点数为2

1. 同时出现的概率,即$P(A\cap B)$:

按照公式计算:$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
P(A)= 1 6 P(A) = \\frac16 P(A)=61​
P(B)= 1 6 P(B) = \\frac16 P(B)=61​
P(A∩B)= 1 36 P(A\\cap B) = \\frac1{36} P(A∩B)=361​

2. 出现任意一个的概率,即$P(A\cup B)$:

法1: 按照公式计算:$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
P(A∪B)= 1 3 − 1 36 = 11 36 P(A\\cup B) = \\frac13 - \\frac 1{36} = \\frac {11}{36} P(A∪B)=31​−361​=3611​
法2: 对于独立事件:任意一个出现的概率即为对立事件同时出现的概率
即: P(A∪B)=1−P( A c )×P( B c ) P(A\\cup B) = 1- P(A^c)\\times P(B^c) P(A∪B)=1−P(Ac)×P(Bc)
故而: P(A∪B)=1− 5 6 × 5 6 = 11 36 P(A\\cup B) =1 - \\frac56 \\times \\frac 56 = \\frac {11}{36} P(A∪B)=1−65​×65​=3611​

对于相容事件且依赖事件

掷骰子1次
A.骰子点数为偶数
B.骰子点数大于等于4. 即456的可能

1. 同时出现的概率,即$P(A\cap B)$:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)或P(A\mid B)\cdot P(B)$
$P(A\mid B)$：在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的条件概率。
$P(B\mid A)$：在事件 A 已经发生的条件下，事件 B 发生的条件概率。

$P(A)$即为偶数的可能,即{1,2,3,4,5,6}中取到{2,4,6},即 P(A)= 1 2 P(A)= \\frac 12 P(A)=21​
$P(B|A)$即在A已经发生的条件下,发生B的概率,即{2,4,6}中取到{4,6},即 P(B∣A)= 2 3 P(B|A)=\\frac23 P(B∣A)=32​
则 P(A∩B)=P(A)P(B∣A)= 1 2 × 2 3 = 1 3 P(A\\cap B)=P(A)P(B∣A)=\\frac12\\times \\frac 23 =\\frac 13 P(A∩B)=P(A)P(B∣A)=21​×32​=31​
可见:

特殊的,对于独立事件

若事件 ( A ) 和 ( B ) 独立，意味着 ( A ) 的发生不影响 ( B ) 的发生（反之亦然）。在这种情况下，条件概率满足：
$$P(B\mid A)=P(B)\text{且}P(A\mid B)=P(A)$$
于是：
$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

2. 出现任意一个的概率,即$P(A\cup B)$:

即{1,2,3,4,5,6}中取到{2,4,5,6}的概率
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)= 1 2 + 1 2 − 1 3 = 2 3 P(A\\cup B)=P(A) + P(B) - P(A\\cap B)=\\frac12+\\frac12-\\frac13=\\frac23 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=21​+21​−31​=32​

总结公式

交集（Intersection）公式总结

一般情况

两个事件 $A$ 和 $B$ 的交集 $P(A\cap B)$ 的公式为：

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=P(B)\cdot P(A\mid B)$$

特殊情况

1. 独立事件
   如果 $A$ 和 $B$ 是独立事件，则：
   $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

并集（Union）公式总结

一般情况

两个事件 $A$ 和 $B$ 的并集 $P(A\cup B)$ 的公式为：

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

特殊情况

1. 互斥事件
   如果 $A$ 和 $B$ 是互斥事件（即它们不可能同时发生），则：
   $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

2. 独立事件
   如果 $A$ 和 $B$ 是独立事件，则交集的概率为 $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$，因此：
   $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)$$

3. 包含关系
   如果事件 $A$ 完全包含于事件 $B$（即 $A\subseteq B$），则：
   $$P(A\cup B)=P(B)$$

4. 相等事件
   如果 $A=B$，则：
   $$P(A\cup B)=P(A)=P(B)$$