如何理解泊松分布

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• • 一、引例——鲸鱼研究
  • 二、泊松分布

一、引例——鲸鱼研究

有生态学家对生活在北冰洋水域的鲸鱼进行了跟踪研究，他们利用一台水下无人机来探测鲸鱼数量，这是近十天的数据：

最后四天鲸鱼数目的连续减少趋势令人担忧，水质恶化吗？。

注意到每天探测到的鲸鱼不会是同时发生的，而是分散在一天的不同时间段。

这事实上是一个随机事件的时间分布，于是我们将一天时间划分为12段，那么第一天的数据如下：

那么对于这组数据，鲸鱼出现的概率 p = 5/6

我们试图把鱼群数量转换成时间上的二项分布，那么 12 个 时间段就转化成了一个二项分布，一天内出现10头鲸鱼的概率如下：
C n k ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k= C 12 10 ⋅ ( 5 6) 10 ⋅ ( 1 6) 2 = 0.2961 C_n^k \\cdot p^k \\cdot (1-p)^{n-k} = C_{12}^{10} \\cdot (\\frac{5}{6})^{10} \\cdot (\\frac{1}{6})^2 = 0.2961 Cnk​⋅pk⋅(1−p)n−k=C1210​⋅(65​)10⋅(61​)2=0.2961
这正是 拉普拉斯 得意门生 西莫恩·德尼·泊松(1781~1840) 的思路。

前面我们选取的是第一天的数据，我们现在选取第二天的数据，有14头鲸鱼，12个时间段有些不够用，于是我们划分成24个时间段。

则一天中出现14头鲸鱼的概率：
p i = 14 24 = 7 12则 C n k ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k = C 24 14 ⋅ ( 7 12 ) 14 ⋅ ( 5 12 ) 10 = 0.1634 \\begin{align} & p_i = \\frac{14}{24} = \\frac{7}{12} & 则 C_n^k \\cdot p^k \\cdot (1-p)^{n-k} = C_{24}^{14} \\cdot (\\frac{7}{12})^{14} \\cdot (\\frac{5}{12})^{10} = 0.1634 \\end{align} ​pi​=2414​=127​​则Cnk​⋅pk⋅(1−p)n−k=C2414​⋅(127​)14⋅(125​)10=0.1634​​
但是我们上面的思考有一个漏洞就：一个时间段是有可能有多头鲸鱼出现的

这说明什么？时间段太大了！我们直接把一天划分成无数个时间段，单独每个时间段都趋于无穷小，这样无论两头鲸鱼的时间挨得有多近，都能区分开来，则有：
l i m n → ∞ C n k ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k ，其中： n 代表时间分段数， p 代表任意时间段内鲸鱼出现的概率 p 的估计不再以某一天数据为准，而是选取平均值，即 p = μ n \\begin{align} & lim_{n \\rightarrow \\infty} C_n^k \\cdot p^k \\cdot (1-p)^{n-k}，其中：\\\\ & n代表时间分段数，p代表任意时间段内鲸鱼出现的概率 \\\\ & p的估计不再以某一天数据为准，而是选取平均值，即 p = \\frac{\\mu}{n} \\end{align} ​limn→∞​Cnk​⋅pk⋅(1−p)n−k，其中：n代表时间分段数，p代表任意时间段内鲸鱼出现的概率p的估计不再以某一天数据为准，而是选取平均值，即p=nμ​​​

公式的进一步推导：
l i m n → ∞ C n k ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k= l i m n → ∞ C n k ⋅ ( μ n ) k ⋅ ( 1 − μ n ) n − k= lim ⁡ n → ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! ⋅μ k n k ⋅( 1 − μ n ) n − k= μ k k ! ⋅lim ⁡ n → ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) n k ⋅( 1 − μ n ) n − k= μ k k ! ⋅lim ⁡ n → ∞ n n ( n − 1 ) n ( n − 2 ) n ⋯( n − k + 1 ) n ⋅( 1 − μ n ) n − k= μ k k ! ⋅lim ⁡ n → ∞ 1 ⋅ 1 … 1 ⋅( 1 − μ n ) n − k= μ k k ! ⋅lim ⁡ n → ∞ ( 1 − μ n ) n − k= μ k k ! ⋅lim ⁡ n → ∞ ( 1 − μ n ) n ⋅lim ⁡ n → ∞ ( 1 − μ n ) − k= μ k k ! ⋅lim ⁡ n → ∞ ( 1 − μ n ) n = μ k k ! e − μ ( 等价无穷小 ) \\begin{align} & lim_{n \\rightarrow \\infty} C_n^k \\cdot p^k \\cdot (1-p)^{n-k} \\\\ =& lim_{n \\rightarrow \\infty} C_n^k \\cdot (\\frac{\\mu}{n})^k \\cdot (1-\\frac{\\mu}{n})^{n-k} \\\\ =& \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n(n-1)(n-2) \\cdots(n-k+1)}{k!} \\cdot \\frac{\\mu^{k}}{n^{k}} \\cdot\\left(1-\\frac{\\mu}{n}\\right)^{n-k} \\\\ =& \\frac{\\mu^{k}}{k!} \\cdot \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n(n-1)(n-2) \\cdots(n-k+1)}{n^{k}} \\cdot\\left(1-\\frac{\\mu}{n}\\right)^{n-k} \\\\ =& \\frac{\\mu^{k}}{k!} \\cdot \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n}{n} \\frac{(n-1)}{n} \\frac{(n-2)}{n} \\cdots \\frac{(n-k+1)}{n} \\cdot\\left(1-\\frac{\\mu}{n}\\right)^{n-k} \\\\ =& \\frac{\\mu^{k}}{k!} \\cdot \\lim _{n \\rightarrow \\infty} 1 \\cdot 1 \\dots 1 \\cdot\\left(1-\\frac{\\mu}{n}\\right)^{n-k} \\\\ =& \\frac{\\mu^{k}}{k!} \\cdot \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\left(1-\\frac{\\mu}{n}\\right)^{n-k} \\\\ =& \\frac{\\mu^{k}}{k!} \\cdot \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\left(1-\\frac{\\mu}{n}\\right)^{n} \\cdot \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\left(1-\\frac{\\mu}{n}\\right)^{-k} \\\\ =& \\frac{\\mu^{k}}{k!} \\cdot \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\left(1-\\frac{\\mu}{n}\\right)^{n} \\\\ =& \\frac{\\mu^{k}}{k!} e^{-\\mu} (等价无穷小) \\\\ \\end{align} =========​limn→∞​Cnk​⋅pk⋅(1−p)n−klimn→∞​Cnk​⋅(nμ​)k⋅(1−nμ​)n−kn→∞lim​k!n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)​⋅nkμk​⋅(1−nμ​)n−kk!μk​⋅n→∞lim​nkn(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)​⋅(1−nμ​)n−kk!μk​⋅n→∞lim​nn​n(n−1)​n(n−2)​⋯n(n−k+1)​⋅(1−nμ​)n−kk!μk​⋅n→∞lim​1⋅1…1⋅(1−nμ​)n−kk!μk​⋅n→∞lim​(1−nμ​)n−kk!μk​⋅n→∞lim​(1−nμ​)n⋅n→∞lim​(1−nμ​)−kk!μk​⋅n→∞lim​(1−nμ​)nk!μk​e−μ(等价无穷小)​​

二、泊松分布

我们把上面的μ 换成 λ，就得到了我们熟悉的泊松分布公式：
λ k k ! e − λ，其中 λ 代表给定时间段或空间区域内，随机事件平均发生的次数。 \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}，其中 \\lambda 代表给定时间段或空间区域内，随机事件平均发生的次数。 k!λk​e−λ，其中λ代表给定时间段或空间区域内，随机事件平均发生的次数。

我们利用该公式计算引例中各时间段鲸鱼出现数目的可能性，并用柱状图来表示：

我们取显著性水平为 6.5%，那么从图中可以得知，鲸鱼数目在[5, 15]都是正常范围，我们的样本都在正常范围内。

有时候我们会用用泊松分布近似二项分布，一般在 试验次数n 很大，成功概率 p 很小，且 λ = np 为有限值时，二项分布可以用泊松分布来近似，经过前面的推导，不难明白其中缘由。