2025 年第八届河北省研究生数学建模竞赛A 题 基于图论的复杂网络分析与可视化建模，关注我持续分享思路+代码+模型！

2025 年第八届河北省研究生数学建模竞赛题目 (请务必阅读“河北省研究生数学建模竞赛论文格式规范”) A 题 基于图论的复杂网络分析与可视化建模 在数据驱动的现代社会中，复杂网络无处不在。从社交媒体平台上数十亿用 户的互动关系到全球交通系统的互联互通，从科研合作网络的知识传播到大规模 信息的扩散路径，复杂网络已成为理解现实世界各种复杂系统的核心工具。图论 作为数学的重要分支，为这些复杂网络的建模、分析和优化提供了强大的理论基 础和实用工具。 随着网络科学的飞速发展，复杂网络分析已从早期的静态描述性研究逐步发 展为动态、预测性和优化性的综合分析。尤其是在大数据时代背景下，复杂网络 分析面临着数据规模大、网络结构复杂、动态变化快等多重挑战。研究者不仅要 具备扎实的图论基础知识，还要掌握高效的算法设计能力、数据处理技术和可视 化表达手段。 在图论应用的各个领域，数学建模能力和算法设计能力是解决实际问题的关 键。一方面，现实问题需要抽象为适当的数学模型，如网络流模型、多目标优化 模型等；另一方面，需要设计高效的算法来求解这些模型，如改进的最短路径算 法、社区检测算法、多目标优化算法等。此外，还需要通过适当的可视化手段， 将分析结果直观地呈现出来辅助决策和理解。 本题旨在考察参赛者对图论基础知识、网络分析方法、布局算法设计及优化 能力的综合应用，要求参赛者通过数学建模方法解决实际问题。通过对不同类型 网络的分析与优化，全方位检验参赛者的理论基础、算法设计、编程实现和结果 分析能力。同时，本题也希望培养参赛者将理论知识应用于解决实际问题的能力， 以及面对复杂系统时的系统思维和创新能力。 本题提供两种不同类型的网络数据（社交网络、科研合作网络），要求参赛 者分别进行建模分析、设计算法并实现可视化，解决如下问题并提出优化方案。问题一：社交网络拓扑结构分析与影响力评估 在社交网络领域，网络拓扑结构分析和影响力评估已成为理解用户行为、预 测信息传播和优化平台运营的关键工具。研究表明，社交网络通常呈现出小世界 特性和无标度特性，这些特性影响着信息传播的速度和范围。同时，识别网络中 的关键节点（意见领袖）和社区结构，对于理解社会群体的形成和演化具有重要 意义。 附件 1 提供了某社交平台中 100,000 名用户的互动数据，包括用户 ID、互动 类型（点赞、评论、转发）、互动时间等信息。

问题 1.1

网络特性分析 1.将社交互动数据构建为有向加权图模型，其中节点表示用户，边表示互动 关系，权重表示互动强度。 2.计算并分析该网络的基本特性，包括：网络密度、平均路径长度、聚类系 数、度分布等。 3.判断该网络是否符合小世界特性或无标度特性，给出数学依据。

问题 1.2

用户影响力评估 1.设计一个综合评价指标体系，结合多种中心性指标（如度中心性、介数中 心性、特征向量中心性、PageRank 等）评估用户的影响力。 2.基于上述指标体系，识别网络中影响力排名前 5%的关键用户，并分析这些 用户的共同特征。 3.针对不同类型的社交行为（点赞、评论、转发），分析这些行为对用户影 响力的贡献权重，并提出优化用户影响力的策略。

问题 1.3

社区结构与演化规律 1.采用至少两种社区检测算法（如 Louvain 算法、标签传播算法、谱聚类等） 对网络进行社区划分，比较不同算法的结果差异。 2.将数据按月划分，分析社区结构随时间的演化规律，包括社区规模变化、 社区间互动强度变化等。 3.构建一个预测模型，预测未来 2 个月内社区结构的可能变化趋势，并给出 模型的评估指标。问题二：图绘制中的节点与边布局优化 在图的可视化领域，如何在视觉上清晰、美观地展示复杂网络结构，使人们 能够直观地理解网络特性，已成为一个跨学科的研究热点。传统的布局算法，如 同心圆布局、分层布局、力导向布局等，各有优缺点。如何结合不同布局算法的 优势，设计出既能展示网络整体结构特征，又能突出局部细节的混合布局算法， 是当前图可视化研究的前沿问题之一。 随着网络规模的不断扩大，传统的图布局算法在处理大规模网络时往往面临 计算效率低下和可视化效果不佳的问题。针对这一挑战，多层次布局、基于聚类 的布局等算法被提出并广泛应用。同时，如何定义和量化评估图布局的美观性， 如何在美观性和信息表达清晰度之间取得平衡，也是图可视化领域的重要研究方 向。 附件 2 提供了一个科研合作网络数据，包含 1,00 名研究者（节点）及其合作 关系（边）。

问题 2.1

基础图布局算法实现 1.利用 Matlab 实现对于重图的圆形布局算法，要求从头编写核心逻辑，禁止 直接调用现有的图布局函数库，需考虑到节点的合理布局和边避让。 2.利用 Matlab 实现对于重图的分层布局算法，同样要求自行编写算法逻辑而 非调用现有函数，需考虑到节点的合理布局和边避让。 3.分别应用这两种布局算法对科研合作网络进行可视化，提交代码和和可视 化图像，分析两种算法的时间复杂度和空间复杂度。 4.附加分项：如果在北太天元上实现这两种算法额外加 10 分。（北太天元是 面向科学计算与工程计算的国产通用型科学计算软件。该软件突破科学计算领域 “根技术”，实现从架构设计到核心代码完全自主编写，填补了国内空白。其功 能涵盖数值计算、数据分析、算法开发及系统仿真，支持多操作系统运行，为各 领域科学家与工程师提供优质、可靠的科学计算平台。）

问题 2.2

美观性评估与混合布局算法 1.定义一组量化指标评估图布局的美观性，比如：节点分布均匀性、边长度 的标准差、边交叉率等。 2.设计一种动态交互机制，支持用户实时调整节点位置，同时确保调整过程中美学指标不会显著下降。 3.结合圆形布局和分层布局的优势，设计一种混合布局算法，展示混合布局 优势，比如边交叉率降低，或能够同时突出核心节点的中心地位和边缘节点的层 次关系。实现该混合布局算法，随机生成 10 组数据，并展示三种可视化结果并对 比。 附件说明 1.附件 1：社交网络互动数据（CSV 格式，包含用户 ID、互动对象 ID、互动 类型、互动时间等信息） 2.附件 2：科研合作网络数据（TXT 格式，包含研究者 ID、合作关系）