GAMES101 lec2-数学基础1（线性代数）

一些依赖的内容

• 基本数学：
  • 线性代数，微积分，统计学
• 基本物理：
  • 光学，力学
• 其他
  • 信号处理
  • 数值分析

线性代数

一个旋转的例子

vector 向量

• AB⃗=B−A\\vec{AB} = B - AAB=B−A
• 两个核心属性：方向+长度

模长 / 单位向量

• ∣∣a⃗∣∣||\\vec{a}||∣∣a∣∣
• 单位向量 a^=a⃗/∣∣a⃗∣∣\\hat a = \\vec a / ||\\vec a||a^=a/∣∣a∣∣

向量求和

• 平行四边形法则/三角形法则

坐标系下的向量代数表示

• 默认的向量是列向量

向量的点乘

• 定义：a⃗∗b⃗=∣∣a⃗∣∣ ∣∣b⃗∣∣cos⁡θ\\vec a * \\vec b = ||\\vec a|| \\, ||\\vec b|| \\cos \\thetaa∗b=∣∣a∣∣∣∣b∣∣cosθ
• 点乘与方向：点乘 与 $\cos \theta$ 之间互相计算的方法
• 计算方法：a⃗∗b⃗=xaxb+yayb\\vec a * \\vec b = x_a x_b + y_a y_ba∗b=xa​xb​+ya​yb​
• 用于计算一个向量投影到另一个向量： ∣∣b⃗⊥∣∣=∣∣b⃗∣∣∗cos⁡θ||\\vec b_{\\perp}|| = ||\\vec b|| * \\cos \\theta∣∣b⊥​∣∣=∣∣b∣∣∗cosθ
• 向量点乘告诉前与后的信息：（相同方向/相反方向）
  >0, <0, 是不是垂直，是不是接近

向量的叉乘

• ∣∣a⃗×b⃗∣∣=∣∣a⃗∣∣ ∣∣b⃗∣∣ sin⁡θ||\\vec a \\times \\vec b|| = ||\\vec a|| \\, ||\\vec b|| \\, \\sin \\theta∣∣a×b∣∣=∣∣a∣∣∣∣b∣∣sinθ

• 右手螺旋法则（求出方向）

• 不满足交换律：（加上负号）$a\times b=-b\times a$

• 三维坐标系，叉乘的应用

• 叉乘性质

  • 自身 a⃗×a⃗=0⃗\\vec a \\times \\vec a = \\vec 0a×a=0
  • 反交换律
  • 结合律 + 分配律

• 代数计算方法（表示成矩阵形式 重要）

  • 

• 应用：判定向量的左右/内外 -> 判断点是否在三角形内部

  • 

  • sign(AB⃗×AP⃗)==sign(BC⃗×BP⃗)==sign(CA⃗×CP⃗)sign(\\vec{AB} \\times \\vec{AP}) == sign(\\vec{BC} \\times \\vec{BP}) == sign(\\vec{CA} \\times \\vec{CP})sign(AB×AP)==sign(BC×BP)==sign(CA×CP)，如果这个等式成立，那么就表示点在三角形内部

  • AB - BC - CA，是一种轮换对称性，可以理解为 ABCABC 的循环选取

坐标系

• u v w 三维直角坐标系
  • 方便分解，方便计算

Matrix 矩阵

• 在图形学里，常常用矩阵来做基本变换

矩阵的乘积 $(m\ast n)\ast (n\ast p)$

• 矩阵乘积不存在交换律

• 结合律 $(AB)C=A(BC)$

• 矩阵$(x\ast m)$ 左乘 向量$(m\ast 1)$

• 乘积的转置(AB)T=BTAT(A B)^T = B^TA^T(AB)T=BTAT

• 单位矩阵

• 逆矩阵

• 点乘叉乘 - 矩阵乘法

  •