相机内外参矩阵：从3D世界坐标到2D像素坐标变换_相机内外参 三维坐标变换到二维坐标

相机内外参矩阵：从3D世界坐标到2D像素坐标变换

• 介绍
• • • **1. 内参矩阵（Intrinsic Matrix, K）**
    • **2. 外参矩阵（Extrinsic Matrix, [R|t]）**
    • **3. 完整投影过程（世界坐标 → 像素坐标）**
    • • **步骤1：世界坐标 → 相机坐标（外参变换）**
      • **步骤2：相机坐标 → 归一化图像坐标（透视投影）**
      • **步骤3：归一化坐标 → 像素坐标（内参变换）**
      • **整合公式（直接投影）**
    • **4. 关键坐标变换总结**
    • **5. 畸变参数（补充）**
    • **6. 示例（OpenCV 模型）**
    • **总结**

介绍

相机参数矩阵描述了三维世界到二维图像的投影关系，分为内参矩阵（Intrinsic Matrix）和外参矩阵（Extrinsic Matrix）。以下是详细解释和坐标变换公式：

1. 内参矩阵（Intrinsic Matrix, K）

作用：将相机坐标系下的3D点投影到图像像素坐标系（2D），描述相机自身的几何和光学特性。
公式：
K = [ f x s u 0 0 f y v 0 0 0 1 ] K = \\begin{bmatrix} f_x & s & u_0 \\\\ 0 & f_y & v_0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{bmatrix} K= ​fx​00​sfy​0​u0​v0​1​ ​
参数含义：

• (f_x, f_y)：焦距（单位为像素），分别表示x和y方向的缩放因子（受传感器尺寸和镜头焦距影响）。
• (u_0, v_0)：主点坐标（Principal Point），即光轴与图像平面的交点（通常接近图像中心）。
• (s)：轴倾斜参数（Skew），描述图像坐标轴的倾斜程度（现代相机通常为0）。

2. 外参矩阵（Extrinsic Matrix, [R|t]）

作用：将世界坐标系下的3D点变换到相机坐标系，描述相机在空间中的位置和姿态（旋转+平移）。
公式：
外参 = [ R ∣ t ] = [ r 11 r 12 r 13 t x r 21 r 22 r 23 t y r 31 r 32 r 33 t z] \\text{外参} = [R \\mid t] = \\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_x \\\\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_y \\\\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_z \\end{bmatrix} 外参=[R∣t]= ​r11​r21​r31​​r12​r22​r32​​r13​r23​r33​​tx​ty​tz​​ ​
参数含义：

• (R)：3×3旋转矩阵（正交矩阵），表示相机相对于世界坐标系的朝向。
• (t)：3×1平移向量，表示相机光心在世界坐标系中的位置。

3. 完整投影过程（世界坐标 → 像素坐标）

设一个3D点在世界坐标系中的齐次坐标为 P w =[ X w , Y w , Z w ,1 ] T P_w = [X_w, Y_w, Z_w, 1]^T Pw​=[Xw​,Yw​,Zw​,1]T，其投影到像素坐标 p=[u,v,1 ] T p = [u, v, 1]^T p=[u,v,1]T 的流程如下：

步骤1：世界坐标 → 相机坐标（外参变换）

[ X c Y c Z c 1 ] = [ R t 0 1 ][ X w Y w Z w 1 ] 或 P c = R ⋅ P w + t \\begin{bmatrix} X_c \\\\ Y_c \\\\ Z_c \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} R & t \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} X_w \\\\ Y_w \\\\ Z_w \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\quad \\text{或} \\quad P_c = R \\cdot P_w + t ​Xc​Yc​Zc​1​ ​=[R0​t1​] ​Xw​Yw​Zw​1​ ​或Pc​=R⋅Pw​+t

步骤2：相机坐标 → 归一化图像坐标（透视投影）

[ x y 1 ] = 1 Z c [ X c Y c Z c] ⇒ { x = X c / Z c y = Y c / Z c \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\frac{1}{Z_c} \\begin{bmatrix} X_c \\\\ Y_c \\\\ Z_c \\end{bmatrix} \\quad \\Rightarrow \\quad \\begin{cases} x = X_c / Z_c \\\\ y = Y_c / Z_c \\end{cases} ​xy1​ ​=Zc​1​ ​Xc​Yc​Zc​​ ​⇒{x=Xc​/Zc​y=Yc​/Zc​​

步骤3：归一化坐标 → 像素坐标（内参变换）

[ u v 1 ] = K [ x y 1 ] = [ f x x + s y + u 0 f y y + v 0 1 ] \\begin{bmatrix} u \\\\ v \\\\ 1 \\end{bmatrix} = K \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} f_x x + s y + u_0 \\\\ f_y y + v_0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} ​uv1​ ​=K ​xy1​ ​= ​fx​x+sy+u0​fy​y+v0​1​ ​

整合公式（直接投影）

Z c[ u v 1 ] = K ⋅ [ R ∣ t ] [ X w Y w Z w 1 ] Z_c \\begin{bmatrix} u \\\\ v \\\\ 1 \\end{bmatrix} = K \\cdot [R \\mid t] \\begin{bmatrix} X_w \\\\ Y_w \\\\ Z_w \\\\ 1 \\end{bmatrix} Zc​ ​uv1​ ​=K⋅[R∣t] ​Xw​Yw​Zw​1​ ​

4. 关键坐标变换总结

5. 畸变参数（补充）

实际相机还需考虑镜头畸变（径向畸变、切向畸变），使用以下模型修正归一化坐标 $(x,y)$：
{ x corrected = x ( 1 + k 1 r 2 + k 2 r 4 ) + 2 p 1 x y + p 2 ( r 2 + 2 x 2 ) y corrected = y ( 1 + k 1 r 2 + k 2 r 4 ) + p 1 ( r 2 + 2 y 2 ) + 2 p 2 x y \\begin{cases} x_{\\text{corrected}} = x (1 + k_1 r^2 + k_2 r^4) + 2 p_1 x y + p_2 (r^2 + 2x^2) \\\\ y_{\\text{corrected}} = y (1 + k_1 r^2 + k_2 r^4) + p_1 (r^2 + 2y^2) + 2 p_2 x y \\end{cases} {xcorrected​=x(1+k1​r2+k2​r4)+2p1​xy+p2​(r2+2x2)ycorrected​=y(1+k1​r2+k2​r4)+p1​(r2+2y2)+2p2​xy​
其中 r 2 = x 2 + y 2 r^2 = x^2 + y^2 r2=x2+y2，参数 k 1 , k 2 k_1, k_2 k1​,k2​ 为径向畸变系数， p 1 , p 2 p_1, p_2 p1​,p2​ 为切向畸变系数。

6. 示例（OpenCV 模型）

在OpenCV中，投影过程定义为：

u = f_x * (X_c / Z_c) + u_0v = f_y * (Y_c / Z_c) + v_0

外参通过 solvePnP 求解，内参和畸变参数通过 calibrateCamera 标定。

总结

• 内参矩阵 $K$：相机自身属性（焦距、主点、倾斜）。
• 外参 $[R\mid t]$：相机在世界中的位置和姿态。
• 投影公式： Z c p = K [ R ∣ t ] P w Z_c p = K [R \\mid t] P_w Zc​p=K[R∣t]Pw​
• 畸变模型：修正非线性误差，提升精度。