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【C++】二叉搜索树

网友: 技术文档 2025-07-26 21:01:23

文章目录

  • 二叉搜索树概念
  • 二叉搜索树的实现
    • Insert插入节点
    • Find查找节点
    • Erase删除节点
    • InOrder中序遍历
  • 二叉搜索树的应用
  • 二叉搜索树的性能分析

二叉搜索树概念

二叉搜索树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值。
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值。
它的左右子树也分别为二叉搜索树。
【C++】二叉搜索树

二叉搜索树的实现

完整代码如下。

#include using namespace std;template<class K>struct BSTreeNode{BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;K _key; BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key){}};template<class K>class BSTree{typedef BSTreeNode<K> Node;public:bool Insert(const K& key){//避免这颗树一开始是空的if (_root == nullptr){_root = new Node(key);returntrue;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key > key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false; }bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr; // 记录当前节点的父节点Node* cur = _root; // 从根节点开始查找// 遍历二叉搜索树查找要删除的节点while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right; // 向右子树查找}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left; // 向左子树查找}else // 找到要删除的节点{// 情况1：左子树为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root) // 如果删除的是根节点{_root = cur->_right; // 根节点更新为右子节点}else{// 根据当前节点是父节点的左子节点还是右子节点进行相应更新if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur; // 释放节点内存}// 情况2：右子树为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root) // 如果删除的是根节点{_root = cur->_left; // 根节点更新为左子节点}else{// 根据当前节点是父节点的左子节点还是右子节点进行相应更新if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur; // 释放节点内存}// 情况3：左右子树都不为空else{// 找到右子树中的最小节点（中序后继节点）及其父节点Node* rightMinParent = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 交换当前节点和右子树最小节点的值swap(cur->_key, rightMin->_key);// 移除右子树中的最小节点if (rightMinParent == cur) // 右子树没有左子节点的情况{rightMinParent->_right = rightMin->_right;}else{rightMinParent->_left = rightMin->_right;}delete rightMin; // 释放节点内存}return true; // 删除成功}}return false; // 未找到要删除的节点}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << \" \";_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;};

Insert插入节点

插入的具体过程如下：
a. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针。
b. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点。

bool Insert(const K& key){//避免这颗树一开始是空的if (_root == nullptr){_root = new Node(key);returntrue;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key > key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return true;}

Find查找节点

a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false; }

Erase删除节点

bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr; // 记录当前节点的父节点Node* cur = _root; // 从根节点开始查找// 遍历二叉搜索树查找要删除的节点while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right; // 向右子树查找}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left; // 向左子树查找}else // 找到要删除的节点{// 情况1：左子树为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root) // 如果删除的是根节点{_root = cur->_right; // 根节点更新为右子节点}else{// 根据当前节点是父节点的左子节点还是右子节点进行相应更新if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur; // 释放节点内存}// 情况2：右子树为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root) // 如果删除的是根节点{_root = cur->_left; // 根节点更新为左子节点}else{// 根据当前节点是父节点的左子节点还是右子节点进行相应更新if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur; // 释放节点内存}// 情况3：左右子树都不为空else{// 找到右子树中的最小节点（中序后继节点）及其父节点Node* rightMinParent = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 交换当前节点和右子树最小节点的值swap(cur->_key, rightMin->_key);// 移除右子树中的最小节点if (rightMinParent == cur) // 右子树没有左子节点的情况{rightMinParent->_right = rightMin->_right;}else{rightMinParent->_left = rightMin->_right;}delete rightMin; // 释放节点内存}return true; // 删除成功}}return false; // 未找到要删除的节点}

如下图，各个情况的示意图都画出来了，对应去理解。

【C++】二叉搜索树

InOrder中序遍历

这里比较有意思了，就是如果将下面写成public去调用的时候你会发现调用不了，因为需要root，而它又是私有的，所以这种情况有三种解决方式，第一种就是友元，但是我们这个有点没有边界感了，关联性很低，没必要用友元，第二种就是和java一样，提供一个get()函数去获取root，第三种就是我们这种，套一层既方便又省事。

void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << \" \";_InOrder(root->_right);}

二叉搜索树的应用

  1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
    比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
    以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
    在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
  2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：
    比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文就构成一种键值对；
    再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是就构成一种键值对。

二叉搜索树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
【C++】二叉搜索树
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为： l o g 2 N log_2 N log2​N。
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为： N 2 \\frac{N}{2} 2N​。
如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。所以AVL树和红黑树出来啦，它们可以进行改进，不论按照什么次序插入关键码，二叉搜索树的性能都能达到最优。

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