牛客题解 | 2x2矩阵的奇异值分解（SVD）_使用雅可比方法近似2x2矩阵的奇异值分解

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2x2矩阵的奇异值分解（SVD）是一种常用的矩阵分解方法，用于将矩阵分解为两个正交矩阵和一个对角矩阵。

本题使用了一种几何方法，但基础原理是Jacobi方法，具体公式如下：

设矩阵A为：

A = [ a b c d ] A = \\begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{bmatrix} A=[ac​bd​]

Jacobi方法的步骤如下：

1. 计算矩阵A的特征值和特征向量。
2. 通过旋转矩阵将A对角化，得到奇异值。
3. 最终的分解形式为：
   A = U Σ V T A = U \\Sigma V^TA=UΣVT
   其中，$U$和$V$为正交矩阵，$\Sigma$为对角矩阵，包含奇异值。
   而本题利用几何方法简化了旋转矩阵的计算，具体公式如下：
   U = [ − c 1 − s 1 − s 1 c 1 ] U = \\begin{bmatrix} -c1 & -s1 \\\\ -s1 & c1 \\end{bmatrix}U=[−c1−s1​−s1c1​]
   s = [ ( h 1 + h 2 ) / 2.0 a b s ( h 1 − h 2 ) / 2.0 ] s = \\begin{bmatrix} (h1 + h2) / 2.0 \\\\ abs(h1 - h2) / 2.0 \\end{bmatrix}s=[(h1+h2)/2.0abs(h1−h2)/2.0​]

标准代码如下

def svd_2x2(A: np.ndarray) -> tuple: y1, x1 = (A[1, 0] + A[0, 1]), (A[0, 0] - A[1, 1]) y2, x2 = (A[1, 0] - A[0, 1]), (A[0, 0] + A[1, 1]) h1 = np.sqrt(y1**2 + x1**2) h2 = np.sqrt(y2**2 + x2**2) t1 = x1 / h1 t2 = x2 / h2 cc = np.sqrt((1.0 + t1) * (1.0 + t2)) ss = np.sqrt((1.0 - t1) * (1.0 - t2)) cs = np.sqrt((1.0 + t1) * (1.0 - t2)) sc = np.sqrt((1.0 - t1) * (1.0 + t2)) c1, s1 = (cc - ss) / 2.0, (sc + cs) / 2.0 U = np.array([[-c1, -s1], [-s1, c1]]) s = np.array([(h1 + h2) / 2.0, abs(h1 - h2) / 2.0]) V = np.diag(1.0 / s) @ U.T @ A return U, s, V

本题也可以使用numpy库的linalg.svd函数实现，这里给出具体实现：

def svd_2x2(A: np.ndarray) -> tuple: U, s, V = np.linalg.svd(A) return U, s, V