线性代数 -代数余子式 从零到精通！！

1. 什么是代数余子式

1. 代数余子式的定义

1.1 余子式 MijM_{ij}Mij​

对于n阶矩阵A中的元素aija_{ij}aij​，其余子式MijM_{ij}Mij​是：

• 删除第i行
• 删除第j列
• 剩余元素组成的n-1阶行列式

1.2 代数余子式 AijA_{ij}Aij​

Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}Aij​=(−1)i+jMij​

2. 计算步骤

2.1 三阶矩阵示例

对于矩阵：
A=[2130−1412−2] A = \\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 1 & 2 & -2 \\end{bmatrix} A= ​201​1−12​34−2​ ​

计算 A11A_{11}A11​ 的步骤：

1. 找到余子式
   M11=∣−142−2∣M_{11} = \\begin{vmatrix} -1 & 4 \\\\ 2 & -2 \\end{vmatrix}M11​= ​−12​4−2​ ​

2. 计算余子式值
   M11=(−1)(−2)−(4)(2)=2−8=−6M_{11} = (-1)(-2) - (4)(2) = 2 - 8 = -6M11​=(−1)(−2)−(4)(2)=2−8=−6

3. 计算代数余子式
   A11=(−1)1+1M11=(−6)A_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = (-6)A11​=(−1)1+1M11​=(−6)

3. 代数余子式的性质

1. 与行列式的关系
   ∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \\cdots + a_{in}A_{in}∣A∣=ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+⋯+ain​Ain​
   （按第i行展开）

2. 按行展开
   ∣A∣=∑j=1naijAij|A| = \\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}∣A∣=j=1∑n​aij​Aij​

3. 按列展开
   ∣A∣=∑i=1naijAij|A| = \\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}∣A∣=i=1∑n​aij​Aij​

4. 特殊情况处理

1. 零元素

• 含有较多零元素的行或列便于展开
• 可以减少计算量

2. 特殊数字
   • 1和-1可以简化计算
   • 便于选择展开的行或列

5. 应用

1. 计算行列式

   • 选择合适的行或列展开
   • 利用代数余子式递归计算

2. 求伴随矩阵

   • 所有代数余子式构成代数余子式矩阵
   • 转置得到伴随矩阵

3. 求逆矩阵

   • 利用代数余子式构造伴随矩阵
   • 进而求得逆矩阵

6. 计算技巧

1. 选择最优展开方式

   • 寻找包含最多零元素的行或列
   • 寻找包含1或-1的行或列

2. 符号确定

   • 利用 (−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j 的正负交替性
   • 可以画一个正负号交替的棋盘格辅助记忆

3. 验证方法

   • 利用行列式展开公式验证
   • 检查计算过程中的符号

代数余子式是计算行列式和矩阵运算的重要工具，掌握其计算方法和性质对于解决矩阵问题非常重要。通过系统练习，能够熟练运用这一数学工具。

让我系统总结代数余子式的常见应用场景和对应公式。

2. 代数余子式常见场景以及对应的公式

1. 行列式计算

2.1 按行（列）展开

∣A∣=∑j=1naijAij=∑i=1naijAij|A| = \\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} = \\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}∣A∣=j=1∑n​aij​Aij​=i=1∑n​aij​Aij​

1.2 特殊行列式

2. 三角形行列式
   ∣a11a12a130a22a2300a33∣=a11a22a33\\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ 0 & a_{22} & a_{23} \\\\ 0 & 0 & a_{33} \\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} ​a11​00​a12​a22​0​a13​a23​a33​​ ​=a11​a22​a33​

3. 分块行列式
   ∣A0CD∣=∣A∣∣D∣\\begin{vmatrix} A & 0 \\\\ C & D \\end{vmatrix} = |A||D| ​AC​0D​ ​=∣A∣∣D∣

2. 求逆矩阵

2.1 基本公式

A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \\frac{1}{|A|}A^*A−1=∣A∣1​A∗
其中A∗A^*A∗是A的伴随矩阵

2.2 伴随矩阵

A∗=[A11A21A31A12A22A32A13A23A33]A^* = \\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\\\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\\\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \\end{bmatrix}A∗= ​A11​A12​A13​​A21​A22​A23​​A31​A32​A33​​ ​

2.3 重要关系

AA∗=A∗A=∣A∣IAA^* = A^*A = |A|IAA∗=A∗A=∣A∣I

3. 克莱姆法则

3.1 基本形式

对于方程组$AX=B$：
xj=∣Aj∣∣A∣x_j = \\frac{|A_j|}{|A|}xj​=∣A∣∣Aj​∣​

3.2 应用公式