Toeplitz 矩阵改进MUSIC算法处理相干信号_toeplitz自协方差

一、背景问题

在多径环境中，阵列接收的信号可能是相干的（例如，信号 \\(s_2(t) = \\alpha s_1(t)\\)），导致信号协方差矩阵 \\(\\mathbf{R}_s\\) 低秩（\\(\\text{rank}(\\mathbf{R}_s) < D\\)，\\(D\\) 为信号源数）。这使得传统 MUSIC 算法无法正确分离信号和噪声子空间，谱峰丢失或模糊。

适用场景：均匀线阵（ULA），多径环境下的相干信号。

二、信号模型

信号模型在上一节详细介绍过，在此不多赘述。详见：MUSIC算法处理阵列信号的DOA估计-CSDN博客

三、Toeplitz 算法

3.1核心思想

- 从样本协方差矩阵 \\(\\hat{\\mathbf{R}}_x\\) 提取自相关序列 \\(\\hat{r}(k)\\)。
- 用 \\(\\hat{r}(k)\\) 构造 Hermitian Toeplitz 矩阵 \\(\\mathbf{R}_{\\text{Toe}}\\)。

- 用 \\(\\mathbf{R}_{\\text{Toe}}\\)近似非相干信号的协方差矩阵，恢复秩为 D 。

3.2算法步骤

1. 计算样本协方差矩阵：

$$
\\hat{\\mathbf{R}}_x = \\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^N \\mathbf{X}(i) \\mathbf{X}^H(i)
$$

其中，\\(N\\) 为快拍数。

2. 提取自相关序列：

$$