多步相移小记
本文聚焦 截断（包裹）相位 ϕwrapped∈[−π,π)\\phi_{\\text{wrapped}} \\in [-\\pi, \\pi)ϕwrapped∈[−π,π) 的求解公式与误差特性，比对常用的 3 步、4 步 以及 通用 N 步 相移法。文中约定投影/干涉条纹的理想强度模型为
$Ik(x,y)=I0(x,y)+Im(x,y)cos [ϕ(x,y)+αk],k=1…NI_k(x,y)=I_0(x,y)+I_m(x,y)\\cos\\!\\bigl[\\phi(x,y)+\\alpha_k\\bigr], \\qquad k=1\\ldots NIk(x,y)=I0(x,y)+Im(x,y)cos[ϕ(x,y)+αk],k=1…N$
其中 I0I_0I0 为平均光强，ImI_mIm 为调制度，ϕ\\phiϕ 为待求物面相位，αk\\alpha_kαk 为已知相移。
1 · 三步相移（Δα = 120°）
2 · 四步相移（Δα = 90°，最常用）
3 · 通用 N 步相移（均匀步距 2π/N）
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同步检测/DFT 公式
ϕwrap=− atan2!(∑k=1NIksinαk, ∑k=1NIkcosαk),αk=2π(k−1)N\\phi_{\\text{wrap}} = -\\,\\mathrm{atan2}!\\Bigl( \\sum_{k=1}^{N} I_k\\sin\\alpha_k,\\; \\sum_{k=1}^{N} I_k\\cos\\alpha_k \\Bigr),\\qquad\\alpha_k=\\tfrac{2\\pi(k-1)}{N}ϕwrap=−atan2!(∑k=1NIksinαk,∑k=1NIkcosαk),αk=N2π(k−1)
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误差与冗余
σϕ2≈2σI2/(NIm2)\\sigma_\\phi^2 \\approx 2\\sigma_I^2 /(N I_m^2)σϕ2≈2σI2/(NIm2)：噪声方差随帧数增加而下降，故增加步数能显著提高信噪比与抗伪影能力，但对运动/振动的容忍度降低，采集时间线性变长。 -
谐波抑制
若 N ≥ 4，偶次谐波可通过加权设计进一步抵消；N 为奇数时需专门的包络补偿或双频技术降低 γ‑畸变误差。
4 · 截断相位计算常见实现要点
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使用 atan2(y,x) —— 可直接获得 (‑π, π] 内的主值；别忘了数值环境下对 x=y=0 的保护。
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包裹 → 解包 —— 相位解包方法（行/列贯通、质量门限或多频异步解包）与相移步数无关，但高 SNR （多步）可显著降低解包跳变。
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调制度 & 直流 ——
I0=1N∑kIk,Im=2N(∑Ikcosαk)2+(∑Iksinαk)2I_0=\\tfrac1N\\sum_k I_k,\\quad I_m = \\frac{2}{N}\\sqrt{\\bigl(\\sum I_k\\cos\\alpha_k\\bigr)^2+\\bigl(\\sum I_k\\sin\\alpha_k\\bigr)^2}I0=N1∑kIk,Im=N2(∑Ikcosαk)2+(∑Iksinαk)2
低调制度区域应在相位图上作置信度掩码，避免噪声放大。
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相移误差校准 —— 采用自标定（例如 Hariharan 4+4 帧、Carré 5 帧）或离线标定消除固定伺服误差；4 步在 ±5 % 相移偏差下的相位误差与 3 步几乎相当，但用 5 步可再降 1 个数量级。
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γ‑畸变对策 —— 若投影或传感器非线性明显：
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用 4、N=2^m 步并配合正余弦权重抵消偶次谐波；
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或采用“平均分两趟”双频复合相移；
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或直接线性化 LUT / γ‑校正。
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